本片从证明了费玛最后定理的安德(🐉)鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles开始谈起，描述了 Fermat's Last Theorm 的历史始末，往前回溯来看，1994年(🎅)正是我在念大学的时候，当时完全没有一位教授在课堂上提到这件事，也许他们认为，一位真正的研究者，自然而然地会被数学吸引(💕)，然而对一位不是天才的学生来说，他需要的是老师的指(🌺)引，引导他走向更高深的专业认知，而指(🏓)引的道路，就在科普的精神上。　　从费玛最后定理的历史中可以发现(❓)，有许多研究成果，都是研究人员燃烧热情，试图提出「有趣」的命题，然后再尝试用逻辑验证。　　费玛最后定理：xn+yn=zn 当 n>2 时，不存在整数解　　1. 1963年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles被埃里克(🥁)‧坦普尔(🧙)‧贝尔 Eric Temple Bell 的一本书吸引，「最后问题 The Last Problem」，故事从这里开始。　　2. 毕达哥拉斯(🥩) Pythagoras 定理，任一个直角三角形，斜边(⛲)的平方=另外两边的平方和　　x2+y2=z2　　毕达哥拉斯三元组：毕氏定理的整数解　　3. 费玛 Fermat 在研究(👃)丢番图 Diophantus 的「算数」第2卷的问题8时，在页边写下了註记　　「不(🎅)可能将一个立方数写成两个立方数(🐍)之和；或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高於2次幂，写成两个同样次幂的和。」　(🐮)　「对(✋)这个命题我有一个十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。」　(🏧)　4. 1670年，费玛 Fermat的儿子出版了载有Fermat註记的「丢番图(⬅)的算数」　　(🎆)5. 在Fermat的其他註记中，隐含了(👢)对 n=4 的证明 => n=8, 12, 16, 20 ... 时无解　　(🌜)莱昂哈德‧欧拉 Leonhard Euler 证明了 n=3 时无解 => n=6, 9, 12, 15 ... 时无解　　3是质数，现在只要证明费玛最(🍪)后定理对於所有的质数都成立　　但 欧基里德 证明「存在无穷多个质数」　　(🚒)6. 1776年 索菲‧热尔曼 针对 (2p+1)的质数，证(🐌)明了 费玛最后定理 "大概" 无解　　7. 1825年 古斯塔夫‧勒瑞-狄利克雷 和 阿得利昂-玛利埃‧勒让德 延伸热尔曼的(💘)证明，证明了 n=5 无解　　8. 1839年 加布里尔‧拉梅 Gabriel Lame 证明了 n=7 无(🤸)解　　9. 1847年 拉梅 与 奥古斯汀‧路易斯‧科西 Augusti Louis Cauchy 同时宣称已经证明了 费玛最后定理　　最(🏎)后是刘维尔宣读了 恩斯特‧库默尔 Ernst Kummer 的信，说科西与拉梅的证明，都因为「虚数没有唯一因子分解性质」而失败　　库默尔证明了(💍) 费玛最后定理的完整证明 是当时数学方法不可能实现的　　10.1908年 保罗‧沃尔夫斯凯尔 Paul Wolfskehl 补救了库默尔的证明　　这表示 费玛最后定理的完整证明 尚未被解(🐏)决　　沃尔夫斯凯尔提供了 10万马克 给提供证明的(📄)人，期限是到2007年9月13日止　　11.1900年8月8日 大卫‧希尔伯特，提出数学上23个未解决的(🥕)问题且相信这是迫切需要解决的重要问题　　12.1931年 库特‧哥德尔 不可判定性定理　　第一不可判定性定理：如果公理集合论是相容的，那么存在既不能证明又不能否定的定理。　　=> 完全性是不可能达到的　　第二不可判定性定理：不存在能证明公理系统是相容的构造性过程。　　=> 相容性永远不可能证明　　(🍜)13.1963年 保罗‧科恩 Paul Cohen 发展了可以检验给定问题是(🍑)不是不可判定的方法（只适用少数情形）　　证明希尔伯特23个问题中，其(🚇)中一个「连续统假设」问题是不可判定的，这对於费玛最后定理来说是一大打击　　14.1940年 阿伦‧图灵 Alan Turing 发明破译 Enigma编码 的反(⤴)转机　　开始有人利用暴力解决方法，要对 费玛最后定理 的n值一个一个加以证明。　　(🏢)15.1988年 内奥姆‧埃尔基斯 Naom Elkies 对於 Euler 提出的 x4+y4+z4=w4 不存在解这个推(🥥)想，找到了一(🔜)个反例　　26824404+153656394+1879604=206156734　　16.1975年 安德鲁(🚖)‧怀尔斯 Andrew Wiles 师承 约翰‧科次，研究椭圆曲线　　研究椭圆曲线的目的是要算出他们的整数(💇)解，这跟费玛最后定理一样　　ex: y2=x3-2 只有一组整数解 52=33-2　　(费玛证明宇宙中指存在一个(⬛)数26，他(❔)是夹在一个平方数与一个立方数中间)　(🐴)　(🍿)由於要直接找出椭圆曲线是很困难的，为了简化问题(🏦)，数学家(👠)採用「时鐘运算」方(🌄)法　　在五格时鐘运(🍚)算中， 4+2=1　　椭圆方程式 x3-x2=y2+y　　所有可能的解为 (x, y)=(0, 0) (0, 4) (1, 0) (1, 4)，然后可用 E5=4 来代表在五格时鐘运算中，有四个解　　对於椭圆曲线，可写出一个 E序列 E1=1, E2=4, .....　　17.1954年 至村五郎 与 谷山丰 研究具有非同寻常(😅)的对称性的 modular form 模型式　　模型(🤘)式的要(🐣)素可从(🥫)1开始标号到无穷（M1, M2, M3, ...）　　每个模型式的 M序列 要素个数 可写成 M1=1 M2=3 .... 这样的范例　(🛡)　1955年9月 提出模型式(💎)的 M序列 可以对应到椭圆曲线的 E序列，两个不同领域的理论突然被连接在一起　　安德(🕕)列(🐉)‧韦依 採纳这个想法，「谷山-志村(🤔)猜想」　　18.朗兰兹提出「朗兰兹纲领」的计画(😽)，一个统一化猜想的理论，并开始寻找统一(💄)的环链　　19.1984年 格哈德‧弗赖 Gerhard Frey 提出　　(1) 假设费玛(🙄)最后定理是错的(🚾)，则 xn+yn=zn 有(🗑)整数解，则(🅱)可将方程式转换为y2=x3+(AN-BN)x2-ANBN 这样的椭圆方程式　　(2) 弗赖椭圆方(🔗)程式太古怪了，以致於无法被模型式化(🚃)　　(🐔)(3) 谷山-志村猜想 断言每一个椭圆方程式都(🛠)可以被模型式化　　(4) 谷山-志村猜想 是错误的　　反过来说　　(1) 如果 谷山-志(🤫)村猜想 是对的(🍯)，每一个椭圆方(🗾)程式都可以被模型式化　　(2) 每一个椭圆方程式都可以被模型式化，则不存在弗赖椭圆方程式　　(3) 如果不存在(🐽)弗赖椭圆(🎗)方程式，那么xn+yn=zn 没有(🍎)整数解　(🗨)　(4) 费玛最后定理是对的　　(🐆)20.1986年 肯‧贝(🏵)里特 证明 弗赖椭圆方程式(🛥)无法(🍯)被模(🔹)型式化　　如果有人能够证明谷山-志村猜想，就表示费玛最后定理也(💑)是(🐆)正确的　　21.1986年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 开始一个小阴谋，他每隔6个月发表一篇小论文(📅)，然后自己独力尝试证明谷山(🧙)-志村猜想，策略是利用归纳法，加上 埃瓦里斯特‧伽罗瓦 的群论，希望能将E序列以「自然次序」一一对应到M序列　　22.1988年 宫冈洋一(🏾) 发表利用微分几何学证明谷山-志村猜想，但结果失败　　23.1989年 安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 已经将椭圆方程式拆(🔴)解成无限多项(🌊)，然后也证明了第一项必定是模型式的第一项，也尝试利用 依娃沙娃 Iwasawa 理论，但结果失败　　24.1992年 修改 科利瓦金-弗莱契 方(🤳)法，对所有分类后的椭圆方程式都奏效　　25.1993年 寻求同事 尼克‧凯兹 Nick Katz 的协助，开始(🔸)对验证证明(🍎)　　26.1993年5月 「L-函数和算(👶)术」会议，安德鲁‧怀(🔮)尔斯 Andrew Wiles 发表谷山-志村(🕛)猜想的证明　　27.1993年9月 尼克‧凯兹 Nick Katz 发(🔴)现一(🍭)个重大缺陷　　安德鲁‧怀尔斯 Andrew Wiles 又开始隐居，尝试独力解决(❇)缺陷，他不希望在这时候公布证明(😌)，让(👢)其他人分享完成证明的(⛳)甜美果实　　28.安德鲁‧(🎓)怀尔斯 Andrew Wiles 在接近放弃的边缘，在彼得‧萨纳克的建议下，找到理查德‧泰勒的协助　　29.1994年9月19日 发现结合 依娃沙娃 Iwasawa 理论与 科利瓦金-弗莱契 方法就能够完全解决问题(🚮)　　30.「谷山-志村猜想」被证明了，故得证「费玛最后定(🍭)理」　　ii　　费马大定理　　300多年以前，法国数学家费马在一本书的空白处写下了一个定理：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非零(🔥)整数解”。　　费马宣称他发(🔷)现了(📞)这个定理的一个真正(🚩)奇妙的证明，但因书上空白太小，他写不下(🤺)他的证明。300多年过去了，不知有多少专业数学家和业余数学爱好者绞尽脑汁企图证明它，但不是无功而返就是进展甚微。这就是纯数学中最着名的定理—费马大定理。　　费马(🧝)(1601年～1665年)是一位具有传奇色彩的数学(🦒)家，他最初学习法律并以当律师谋生，后来成为议会议员，数学只不过是他的业余爱好，只能利用闲暇来研究。虽然年近30才认(🧙)真(🙉)注意数学，但费马对数论和微积分做出了第一流的贡献。他与笛卡(📩)儿几乎同时创立了解析几何，同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。费马特别爱好数论，提出了许多定理，但费马只对其中一个定理给出了证明要点，其他定理除一个被证明是错的，一个未被证明外，其余的陆续被后来的数学(🥄)家所证实。这唯一未被证明的定理就是上面所说(😸)的费马大定理，因为是最后一个未被证明(🚑)对或错的定理，所以又称为费马最后(🌭)定理。　　费马大定理虽然至今仍没有完全被证明，但已经有了很大进展，特别是最近几十年，进展更快。1976年瓦格斯塔夫证明(🚣)了对小于105的(👔)素数费马大定理都成立。1983年一位年轻(🥃)的德国数学家(👛)法尔廷斯证明了不定方程xn+yn=zn只能有有限多组解，他的突出贡献使他在1986年获得了数学界的最高奖之一费尔兹奖。1993年英国数(🐗)学家威(⛅)尔斯宣布证明了(🏐)费马大定理，但随后发现(⌚)了证明中的一个漏洞并作了修正。虽然威尔(♋)斯证明费马大定理还没有得到数学界的一致公认，但大多数数(⏲)学(✖)家认为他证明的思路是(⤵)正确的。毫无疑问，这使人们(😳)看到了希望。　　为了寻求费马大定理(⭐)的解答(🏍)，三个多世纪以来，一代又一代(💐)的(🌙)数学家们前赴后继，却壮(😭)志未酬。1995年，美国(🤞)普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年(🚩)的(🥤)孤军奋战，用13　　0页长的篇幅证明(🚷)了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。　　费马大(📳)定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达　　哥拉斯定(☕)理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：(🏉)在一个直角三角形中，　　斜边的平方等于(📑)两直角边的平方之和。即X2＋Y2=Z2。大约(🌔)在公(🚊)元1637年前后 ，当费马在　　研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似(🍃)于毕达哥拉斯方程：Xn＋Yn=Zn,当n　　大(🤜)于2时，这个(💖)方程没(🚛)有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这　　个结论的同时又(🌐)写(🍸)下一个附加的评注：“对此，我确(🥐)信已发现一个美妙的证法，这里的空　　白太小，写不下。”这就是数学史上着名的费(🎥)马大定理或称费马最后的定理。费马制(🔠)造了　　一个数学史上最深奥的谜(📝)。　　大问题　　在物理学、化学或生物学中，还没(🎭)有任何问题可以叙述(🔴)得如此简单(🙇)和清晰，却长(🏪)久不　　解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，　　文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到(👬)了尽头(🗳)。证明费马大定理成为数论中最　　值得为之奋斗的事。　　安德鲁·怀(📆)尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲(🦂)是一位工程学教授。少(🦀)年时代的怀尔斯　　已着迷(🤸)于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，　　编写成我(🎢)自己的新题目。不过我以前找到的(🚰)最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。　　”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书(🥘)只有一个问题而没有解答　　,怀尔斯被吸引住了。　　这就(🌈)是E·T·贝(🅾)尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又　　一个的数学家望而生畏，在长(🐴)达300多年的时间里没有人能解决它。怀(😕)尔斯30多年后回忆　　起被引(🔻)向费马大定理时的感觉：“它看上去如此(🏆)简单，但历史上(📒)所有的(📚)大数学家都未能(🧑)解　(🎩)　决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个(🛀)时刻起，我知道我永　　远不会放(👍)弃它。我必须解决它。”　　怀尔斯1974年从牛(😇)津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare　　学院做博士。在研究生阶段，怀尔(🕢)斯并没有从事费马大定理研究(🧦)。他说：“研究费马可能　　带(🕦)来的(🥊)问题是：你花(🦉)费了多年的(👣)时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coate　(⛷)　s)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨(🤞)说：“我记得一位同事　(🛹)　(🤮)告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其　　为学生。我非(🐽)常荣幸有安德鲁这样(🌱)的学生。即使从对研究生的要求(🤲)来(🙀)看，他也有很(🏰)深刻的　　思想，非常清楚他将是一个做大事情的(🥝)数学家。当然，任何研究生在那个阶(🕍)段直接开始研　　究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太(🛃)困难了。”科茨的责任　　是为怀(🎲)尔斯找到某种至少能使(🥉)他在今后三年(🖇)里有兴趣去研(😭)究的问(🦀)题。他说：“我认为研究　　生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定　　是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这(👖)个过程中能做的一件事是(🛰)使用他　　的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。　　”　　科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的　　一个转折点，椭圆方程的(🕒)研究是他实现梦想的工具。　(🚈)　孤独的战士　　1980年怀尔(🏳)斯在剑桥大学取得博士学位后来到了(🌳)美国普林斯顿大学，并成为这所大(📰)学　　的教(👲)授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一　(🏜)　个着名的数论学家，但他(🤺)清楚地意识到，即使以他广博的基础知识(🍿)和数学(🔼)修养，证明费马　(🤔)　大定理的任务(🌩)也是极为艰巨的。　　在怀尔斯的(☔)费马大定理的证明中，核心是证明“谷山－志村猜想”，该猜想在两个非　　常不同(👲)的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是(😆)1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋　　友家中啜饮冰茶。谈话间(⏬)他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山－志村猜想与费马大　(😋)　定理间的联系(🗾)。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变(🛤)我生命历程的时刻，因为　　这意味着为了证明费马大定理，我必须做的(⬆)一切就是证(🍪)明谷山－志村猜想(👻)……我十分清楚　　我应该回家去研究谷山－志村猜想。”怀尔(🚲)斯望见了一条实现他童年梦想的道路。　　20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什(🔄)么不去尝试证明费马大定理，他　　回答说：“在开始着手(😙)之前，我必须(🦆)用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间　　浪费在(💊)一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心(💺)地投入到　　这(🔐)个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。　　怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和(➖)保密地进行研究(🌭)。他说：“我意识到与费(🛢)　　马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中　　，除非你的专心不被他人分散(📳)，而这一点会因旁观者(👌)太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有　　与证明费(💱)马大定理无直接关(🐺)系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶　　楼书房里他(🔣)开始(🔝)了通过谷山(🥕)－志村猜想来证明费马大定理的战斗。　　这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理(🤨)。　　欢呼与等待　　经过(😽)7年的努力，怀尔斯完成了谷山－志村猜(👕)想的证明。作为一个结果，他也证明了　　费马大定(🌃)理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大　　学的牛顿研究所举行。怀尔斯决(🥚)定利用这个机会向一群杰出的听众宣(😑)布他的工作。他选择　　在牛顿研究所宣布的另外一个主要原(🐪)因是(🚑)剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研(🦎)究生。　　1993年6月23日，牛顿研究所举行(🙀)了20世(⛓)纪最重要的一次数学讲座。两(🌧)百名数学家聆(💂)　　听了这一演讲，但他们之中(👟)只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达　　的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个(🤹)真正具有意义的时刻。演讲者是安　　德鲁·怀尔(🈺)斯。怀尔斯回忆(😫)起演讲(🍿)最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮(💪)起有关演讲的风　　(🐍)声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯　　定事先就准备了一瓶香槟酒。当(🥗)我宣读证(🏜)明(🏂)时，会场上保持着(✨)特别庄重的寂静，当我写完　　费马大定理的证明时，我说：‘我想(📀)我就在这里结束’，会场上爆发出(👌)一阵持久的鼓掌声　　。”　　《纽约时报》在头版(😅)以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道　　费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯(🏸)成为世界上最着名的数学家，也是唯一的数　　学家。《人物》杂志将怀(🙃)尔(⏹)斯与戴安娜王妃一起列为“本年度25位最具魅力者”。最有创　　意的赞美来自一家国际(🧢)制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模　　特。　　当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证(🌇)明的工作(🤬)也在进行(🛐)。科学的程序要　　求任何数学家将完整的手稿送交一个有声(🤠)望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审　　稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个　　夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个(🌱)缺陷被发　　现了。　　我的心灵归于平静　　由于怀尔斯的论文涉及到(🚐)大(🥁)量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定　　2－3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一(😯)章。　　怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这　(😳)　些问题不会给他造(📟)成很大的麻(🏨)烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了　　证明中的一(🍆)个小缺(💑)陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每(⏰)一步都　　行得通。怀尔斯(🧙)以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了　　，错误仍(🚖)未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事(🔡)彼得·萨克说明自己的情　　况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过　　长时间的(❓)考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学(🎯)的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作　　。　　泰勒1994年(💔)1月份到普(🔆)林斯顿，可是到了9月，依然没有结果(👤)，他们准备放弃了。泰勒　　鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作(🐂)最后(🚊)一次检查。9月19日，一个星期一的早　　晨，怀尔斯发现了问题的答案，他(👵)叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个　　难以置信的发现。这是我(🦑)的事业中(🏷)最重要的时刻(🏓)，我不会再有这样的经(🥔)历……它(😈)的美是如　(👌)　此地难以形(🌳)容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我(🎋)呆望它不敢相信。然(🌛)后白天我　　到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”　　这是(👗)少年时代的梦想和8年潜心(🏎)努力的终极，怀尔斯终于向世(🤠)界证明了他的(🔒)才能。世　　界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论(🚅)文总共有130页，是历史上核查(💁)得最彻底的数学稿　　件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上(🚡)。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版　　上，标题是《数学家称经典之(🙏)谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个(🛄)最　(🍨)　(🛏)终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证(🕙)明是人类智力活动的一　　曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变(👯)化。对我说来，安　　德鲁成果(🕖)的美和魅力在(🍸)于它是走向代数数论的巨大的一步。”　　声望(🚿)和荣誉纷至沓来。1995年，怀(🙅)尔斯获得瑞典(🚭)皇家学会颁发(🗞)的Schock数学奖，199　　6年，他获得沃尔夫奖，并当选为(🚻)美国科学院外籍院士。　　怀尔斯说：“……再(🚶)没有别(🐘)的问题能像费马大定理一样对我(🔋)有同样的意义。我拥有如　(🗾)　(⛱)此少(🦂)有的特权，在我的成年时期实现我童年的梦想……那段特殊漫长的探索已经结束(🥨)了(🐍)，　　我的心已归于平静。”　　费马大定理只有在相对数学(🌳)理论的建立之后，才会得到最满意的答案。相对数学理论没有完成之前，谈这个问题是无力地.因为人们对数量(🥥)和自身的认识，还没有达到一定的高度.　　iii　　费马(🕟)大定理与怀尔斯的因果律-美国公众广播网对怀尔斯的专访　　358年的难解之谜(🔒)　　数(🖱)学爱好者费马提出的这个问题非常简单，它用一个每个中学生都熟悉的数学定(🎤)理——毕达哥拉斯定理来表达。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等(🐱)于两个直角边(🧙)的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后 ，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他在《算术》这本书(🏪)靠近问题(🏁)8的页边处写下了这段文字：“设n是大于2的正整数，则不定方程xn+yn=zn没有非整数解，对此，我确信已发现一个美妙的证法，但这(💨)里的空白太小，写不下。”费马习惯在页边写下猜想，费马(🧓)大定理是其中困(🌲)扰(🚖)数学家们时间最长的，所以被称为Fermat’s Last Theorem（费(🕙)马最后的定理）——公认为有史以来最着名的数学猜想。　　在畅销书作家西蒙·辛格（Simon Singh）的笔下，这段神秘留言引发的长达358年的猎逐充满了惊险、悬疑、绝望和狂喜。这段历史先后涉及到最多产的数学大师欧拉、最伟大的数学家高斯、由业余转为职业数学家的柯西、(🔛)英年早逝的天才(🐌)伽罗瓦、理论兼试验大师库默尔和被誉为(🍄)“法国历史上知识最(🤒)为高(🚤)深的女性”的苏菲·姬尔曼……法国数学天才(🤛)伽罗瓦的遗言、日本数学界的明日之星(🈳)谷山丰的神秘自杀、德国数学爱好者保罗·(🔠)沃尔夫斯凯尔最后一刻的舍死求生等等，都仿佛是冥冥间上帝导演的宏大戏剧中的一幕，为最后谜底的解开埋下伏笔。终于，普林斯顿的怀尔斯出现了。他找到谜底(🤘)，把这出戏推向高潮并戛然而止，留下一段耐人回味的传(🔃)奇。　　对怀尔斯而言，证明费马大定理不仅是破译一个难解之谜，更是去实现一个儿时的梦想。“我10岁(⛄)时在图(🛌)书馆找到一本数学书，告诉(✂)我有这么一个(😇)问题，300多年(🏃)前就已经有人解决了它，但却没有人看到过它的证明，也无人确信是否有这个证明，从那以后，人们就不断地求证。这是一个10岁小孩就能明白的问题，然后历史上诸多(🐄)伟大的数学(🆔)家们(🍦)却不能解答。于是从那时起，我就试过(🐫)解决它，这个问题就是费马大定理。”　　怀尔斯于1970年先后在牛津(💙)大学和剑桥大学获得数学学士(🔜)和数学博士学位。“我进入剑桥时，我真正把费马大定(🦏)理搁(🖇)在一边了。这不是因为我忘了它，而是我认(🚴)识到(☝)我们所掌握的用来攻克它的全部技术已经反复使用(🔛)了130年。而这些技术似乎没有触及(🚝)问题根(🤼)本。”因为担心耗费太多时间而一无所获，他“暂时放下了”对费马大定理的思索，开始研究椭圆曲线理论——这个看似与证明费马大定理不相关的理论后来却成为(🔢)他实现(🍚)梦想的工具。　　时间回溯至20世纪60年代，普林斯(♋)顿数学家朗兰兹提出了一个大胆的猜想：所有主要数学领域之间原本就存在着的统一的链接。如果这个猜想被证实，意味着在某个数学领域中无法解答的任何问(🌑)题都有可能(🛵)通(⚽)过这种链接被转换成另一个领域中相应(🤚)的问题——可以被(🤢)一整套新方案解决的问题。而如果在另一个领域内仍然难以找到(🦇)答案，那(🌝)么可以把问题再转换到下一个数学领(✡)域中……直到它被解决为止。根据朗兰兹纲领，有(🤾)一天，数学家们将能够解决曾经是最深奥最难对付的问题——“办法是领(🐚)着这些问题周游数学王(😉)国的各个风景胜地”。这个纲领为饱受哥德尔不完备定理打击的费马大定理证明者们指明了(🦌)救赎之路——根据不完备定理，费马大定理是不可证明的。　(💣)　怀(🐂)尔斯后来正是依赖于这个纲领才得以证明费马大定理的：他的证明(🏵)——不同于任何前人的尝试——是现代数学诸多分支（椭(🍄)圆曲线(💖)论，模形式理论，伽罗华表示理论等等)综(🔨)合发挥作用的结果。20世纪50年代由两位日本数学家（谷山丰和志村五郎）提出的谷山—志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture）暗(❄)示：(🗯)椭圆(🍉)方程与模形式两个截然不同的(🍧)数(🍿)学岛屿间隐(💍)藏着一座沟通的桥梁。随后在1984年，德国数学家格(🌯)哈德·费赖（Gerhard Frey）给出了如下猜想：假如谷山—志村猜想成(😃)立，则费马(🐮)大定理为真。这个猜想紧接着在1986年被肯·里贝特（Ken Ribet）证明。从此，费马大定理不可摆脱地与谷山—志村猜想(🌫)链接在一(⚫)起：如果有人能证明谷山(🐼)—志村猜想（即“每一个椭圆方程都可以模形式化”），那(🎗)么就证明了费马大定理。　　“人类智力活动的一曲凯歌”　　怀尔斯诡秘的行踪让普林斯顿的着名数学家同事们困惑。彼得·萨奈克（Peter Sarnak）回忆说：“ 我常常奇怪怀尔斯在(🍏)做些什么？……他总是静悄悄的(⛵)，也许他已(🐊)经‘黔驴技穷’了。”尼克·凯兹则感叹到：“一点暗示都没有！”对于这次惊天“大预谋”，肯·里比特（Ken Ribet)曾(🌩)评价说：“这可能是我平生来见过的唯一例子，在(🍯)如此长的时间里没有(🔨)泄露(🚼)任何有关工作的(📂)信息。这是空(🍇)前的。　　1993年晚春，在经过反复的试错和绞尽脑汁的演算，怀尔斯终于完成了谷(👿)山—志村猜想的证明。作为一个结果(📂)，他也证明了费马大定理。彼得·(💡)萨奈克是最早得知此消息的人之一，“我目瞪口呆、异常激动、情绪失常……(🔵)我记得当晚我失眠了”。　　同年6月，怀尔斯(📓)决定在剑桥大学的大型系列讲(👆)座上宣布这一(➡)证明。 “讲座气(🚶)氛很热烈，有(🤘)很多数学界重要人物到场，当大家终于明白已经离证明费马大定理一步(🔎)之遥时，空(🐶)气中充满了紧张。” 肯·(🐃)里比特回(🦎)忆说。巴里·马佐尔（Barry Mazur）永远也忘不了那一刻：“我之前从未看到过如此精彩的讲座，充满了美妙的、闻所未闻的新思想，还有戏剧性的铺垫，充满悬念，直到最后到达高潮。”当怀尔斯在讲座结尾宣布他证明了费马大定理时，他(😟)成了全世界媒体的焦点。《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”久远的数学之谜获解》（“At Last Shout of ‘Eureka!’ in Age-Old Math Mystery”）为题报道费马大定理被证明的消息。一夜(🕍)之间，怀尔斯成为世界上唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为(🆑)“本年度25位最具魅力者”。　　与此同时(🔅)，认真核对这个证明的工作也在进(📏)行。遗憾(🐁)的是，如同这之前的“费马大定理终结者”一样，他的证明是有缺陷的。怀尔斯现在不得(🍰)不在巨大的压力之下修正错误，其间数度感到绝望。John Conway曾在美国公众广播网（PBS）的访谈中说: “当时我们其(✨)他(📗)人(👝)（怀尔斯的同事）的行为有点像‘苏联政体研究者’，都想知道他的想法和修正错误的进展，但没有人开口(📸)问他。所以，某人(🤝)会说，‘我今天早上看到怀尔斯了。’‘他露出笑容了吗？’‘他倒是有微笑，但看起来并不高兴。’”　　撑(😫)到1994年(🦈)9月时，怀尔斯准(💽)备放弃了。但他临时邀请的研究搭档泰勒鼓(🆗)励他再坚持一个月。就在截止日到来之前两周， 9月19日 ，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这(🔛)一时刻：“突然间，不可思议地，我发现了它……它美得难以形容，简单而优雅。我对着它发了20多分钟呆。然后我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在那里——它确实还在那里。”　　怀尔斯的证明为他赢得了最慷慨的褒扬(🍠)，其中最具代表性的是他在剑桥时的导师、着名数学家约翰·科茨的评价：(⏪)“它（证明）是人类智力活动的一曲凯歌”。　　一场旷日持久的猎逐就此结束，从此费马大定理与安德鲁·怀尔斯的名字紧紧地被(💈)绑(🐺)在了一起，提到一个就不得不提到另外一个。这是费马大定理与安德鲁·怀尔斯的因果律。　　历时八年的最终证明(👍)　　(🚢)在怀尔斯不多的接受媒体采访中，美国公众广播网（PBS）NOVA节目对怀尔斯的专访(🔦)相当精彩有趣，本文节选部分以飨读者。　　七年孤独　　NOVA：通常(🛌)人们通过团队来获得工(👎)作上的支持，那(🥙)么当你碰壁时是怎么解决问(🏐)题的呢？　　怀尔斯：当(🎧)我被卡(📧)住时我会沿着湖边散散步，散步的(🕰)好处是使你会处于放松状态，同时你的潜意识却在继续工作。通常遇到困扰时你并不需要书桌，而(🕝)且我随时把笔纸(⛄)带上，一旦有好主意我会找个长椅坐下来打草稿…(🍷)…　　NOVA：这七年一定交(🍟)织着(🗻)自我怀疑与成功……你不可能绝对有把握证明。　　怀尔斯：我确实相信自己在正确的轨道上(🧗)，但那并不意味着我一定能达到目标——也许仅仅因为解决难题的方法超出现有的数学，也许我需要的(🔸)方法下个世纪也不会出现。所以即便我在正确的轨道上，我却可能生活在错误的(🧟)世纪。　　NOVA：最终在1993年，你取得了突破。　　怀尔斯：对，那是个5月末的早上。Nada，我(👲)的太太，和孩子们出去了。我(🦇)坐在书桌前思考最后的步骤，不经意间看到了一篇论文，上面的一行字(👍)引起了我的注意。它提到了一个19世纪的数学结构，我霎时意识到这就是我该用的。我不停地工作，忘记下(🐸)楼午饭，到下午三四点时我确信已经证明(💮)了费马大定理，然后下楼。Nada很(🌈)吃惊，以为我这时才回家，我告诉她，我解决了费马大(😌)定理。　　最后的修正　　NOVA：《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久(🍤)远的数学之谜获解》，但他们并不(🦄)知道这个证明中有个错误。　　怀尔斯：那是个(🍱)存在于关键推(⛄)导中的(🧝)错误，但它如此微妙以至(🤔)于(🤟)我忽略了。它很抽象，我无法用简单的语言描(❓)述，就算是数学家也需要研习两三个月(🦎)才能弄懂。　　NOVA：后来你邀请剑桥的数学家理查德·泰勒来协助工作，并在1994年修正了这个最后的错误。问题是，你的证明和费马的证明是同一个吗？　　怀尔斯：不可能(🐒)。这个证明有150页长，用的是20世纪的(🐦)方法，在费马时代还不存在。　　NOVA：那就是说费马的最初证明还在某个未被发现的角落？　　怀尔斯：我不相信他有证明。我觉得他(❣)说已经找(🔝)到解答了是在哄自己。这个难题对(🗳)业余爱好者如此特别在于它可(🃏)能被17世纪的数学证明，尽管可能性极其微小。　　NOVA：所以也许还有数学家追寻这最初的证明。你该怎么办呢？　　怀尔(🧥)斯：对我来说都一样，费马(🛅)是我(👸)童年的热(👋)望。我会再试(🚮)其他问题……证明了它我有一丝伤感，它已经和我们一起这么久了……人们对我说“你把我的问题(🌌)夺走了”，我能带给他们其他的东西(📅)吗？我感觉到有责任。我希望通过解决这个(🌐)问题带来的兴奋(🐌)可以激励青年数学家们解决其他许许(🥝)多多的难题。　　iv　　谷山-志村定理(Taniyama-Shimura theorem)建立了椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(某种(🥤)数论中用到的周期性(🔀)全(🕥)纯函数)之间的重要联系。虽然(🎿)名字是从谷(❄)山-志村猜想而来,定理的证明是由安德鲁·怀尔斯, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond,和Richard Taylor完成.　　若p是一个质数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线，我们可以简化定义E的方程模(📈)p;除(➗)了有限个(❄)p值，我们会得到有np个元素的有限域Fp上的(🈳)一个椭圆曲线。然后考虑如下序列　　ap = np − p,　　这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换，每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫(🍃)做模的。 谷山-志村定说:　　"所有Q上的椭圆曲线是(⛩)模的"。　　该定理在1955年9月由谷山丰提出猜想。到1957年为止，他(🍱)和志村五郎一起改进了严格性。谷山于1958年自杀身亡。在1960年代，它和统一数学中的猜想Langlands纲领联系了起来，并是关键的组成部分。猜(🥔)想由André Weil于1970年代重新提起并得到(💶)推广，Weil的名(⬛)字有一段时间和它联系在一起(👧)。尽管有明显的用处，这个问题的深度在后来的发展之前并未被人们所(🦄)感觉到。　　在1980年代当Gerhard Freay建议谷山-志村猜想(那时还是猜想)蕴含着费马最后定理(😩)的时候，它吸引到了不少注意力。他(📷)通过试图表明费尔马大定理的任何范例会导致一个非模的椭圆曲线来做到这一点。Ken Ribet后来证明了这一结果。在1995年，Andrew Wiles和Richard Taylor证(👕)明了谷山-志村定理的一个特殊情况(半稳(🧐)定椭圆曲线的情况)，这个特殊情况足以证明费尔马大定理。　　完整的证明最后于1999年由Breuil,Conrad,Diamond,和Taylor作出，他们在Wiles的基础上，一块一块的逐步证明剩下的情况直到全部完成。　　数论中类似于费尔马最后定理得几个定理(🏛)可以从谷山-志村定理得到(🆖)。例如:没有立方可以写成两个互质n次幂的和, n ≥ 3. (n = 3的情况已为欧拉所知)　　在1996年三月，Wiles和(🌬)Robert Langlands分享了沃尔夫奖。虽然他们都没有完(📘)成给予他们这个成(🌐)就的定理的完整形式，他们还是被认为对最终完成的证明有着决定性影响(🎏)。只要收(😏)服那(nà )些部落，那自己的领土面积，必(bì )然会(🦀)得(dé )到大幅度的提升。